In un mio precedente intervento, già pubblicato sul sito, mi sono occupato diffusamente della parabola, che dovrebbe essere trattata per prima per i suoi legami con equazioni e disequazioni di secondo grado.
Presento ora le altre coniche, mettendo in rilievo che l’intento di questo lavoro non è svolgere una trattazione completa delle stesse, quanto presentarne un’esposizione che si basa sulle trasformazioni del piano, mettendone così in rilievo l’importanza (Nei libri di testo esse sono svolte, en passant, dopo la geometria tradizionale e diventano così un inutile orpello. Mentre la trattazione della geometria mediante le trasformazioni, suggerita dal Programma di Erlangen di Klein del 1872, è presente già dal 1977 negli interessanti testi Il metodo matematico di Lombardo Radice e Mancini Proia, e Matematica come scoperta di Prodi. 
L’uso delle trasformazioni, delle quali quella chiave è la simmetria bilaterale, è suggerita dalla natura, che, circa seicento milioni di anni fa, “scoprì” che essa era la più adatta nella costruzione degli esseri viventi, ed era economica: “due al prezzo di uno”. E l’arte di tutti i popoli in ogni luogo testimonia come l’uomo ne sia stato influenzato.
Nel campo specifico della geometria, l’utilizzo delle trasformazioni consente:
    • un costante uso dell’intuizione, prima fonte della conoscenza;
    • di avere una guida che conduce alle dimostrazioni, verificando le proprie congetture;
    • dimostrazioni semplici ed efficaci, che spesso i giovani possono intuire;
    • l’introduzione della geometria analitica dall’inizio, e ciò, oltre a essere più stimolante per i giovani, risulta utile nello studio della fisica già dal primo anno;
    • l’approfondimento del fondamentale concetto di gruppo, con la presentazione di gruppi anche in geometria, fornendo così un esempio di unitarietà di rami diversi della matematica.
Mediante le trasformazioni del piano:
    • Le equazioni dell’ellisse e dell’iperbole canoniche si ottengono in modo meno complesso e più immediato, fornendone una semplice ma efficace costruzione.
    • Le equazioni delle tangenti, ottenute con le trasformazioni, hanno tutte una stessa struttura e sono facilmente memorizzabili. Esse si conseguono in maniera semplice, con un unico procedimento che dà al tempo stesso le equazioni delle tangenti e le coordinate dei punti di contatto.

§ 1
Circonferenza
La Geometria analitica si può considerare un dizionario bilingue che consente di “tradurre” le proprietà delle figure in equazioni e disequazioni e viceversa.
In particolare, sappiamo che esiste una biiezione tra l’insieme delle rette del piano e le equazioni lineari in x e y, nel senso che:
    • Assegnata una qualunque retta del piano, a essa si può associare una e una sola equazione di primo grado del tipo ax+by+c=0, con a e b non simultaneamente nulli, la quale è soddisfatta da tutte e sole le coordinate dei suoi punti.
    • Viceversa, fissata una qualsiasi equazione lineare in x e y, tutte e sole le coppie ordinate di numeri reali che la verificano sono coordinate di punti che appartengono a un’unica retta r che è l’immagine dell’equazione.

Esaminiamo ora la circonferenza, l’altra figura che, assieme alla retta, è “perfetta” perché presenta infinite simmetrie (quali quelle dell’una e dell’altra?).
Sapete che ...
Alfio Grasso
grassoalfino@yahoo.it